{"id":1454,"date":"2019-04-09T20:41:47","date_gmt":"2019-04-09T18:41:47","guid":{"rendered":"http:\/\/joannacholuj.pl\/?p=1454"},"modified":"2019-11-23T19:17:41","modified_gmt":"2019-11-23T18:17:41","slug":"algebra-zebra-i-zebra","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/joannacholuj.pl\/en\/blog\/2019\/04\/09\/algebra-zebra-i-zebra\/","title":{"rendered":"Algebra zebra i \u017cebra"},"content":{"rendered":"

\"\"Co wsp\u00f3lnego ma algebra, \u017cebra i zebra, a mo\u017ce i yerba, \u017ad\u017ab\u0142a ?<\/strong><\/p>\n

Zaraz zobaczymy, mo\u017ce wiele.<\/strong><\/p>\n

Ten artyku\u0142 pisze na marginesie mojego s\u0142ownika etymologicznego, do udzia\u0142u przy kt\u00f3rym zach\u0119cam ciep\u0142o. Tu link. Ot\u00f3\u017c.<\/a><\/p>\n

Dzi\u015b mia\u0142am takow\u0105 deliberacj\u0119. Czym r\u00f3\u017cni si\u0119 algebra od arytmetyki. Oba s\u0142owa wydawa\u0142ty si\u0119 \u0142aci\u0144skie, a wcze\u015bniej greckie. Okaza\u0142o si\u0119 \u017ce dodatkowo algebra jest arabskim s\u0142owem tyle \u017ce niezbyt znanym w arabskim, czyli.. obcym.<\/p>\n

Ale zacznijmy od definicji dla jasno\u015bci wywodu :<\/p>\n

arytmetyka : tradycyjne operacje arytmetyczne<\/b> to dodawanie, odejmowanie, mno\u017cenie i dzielenie. Czasem dodaje si\u0119 do tej listy takie operacje jak procent, pierwiastek kwadratowy, pot\u0119ga i logarytm. Arytmetyka<\/b> wymaga wykonywania ich zgodnie z kolejno\u015bci\u0105 dzia\u0142a\u0144.<\/span><\/em><\/p>\n

wiki<\/p>\n

ALGEBRA<\/p>\n

Dla fan\u00f3w algebry wstawiam pe\u0142ne trzy definicje z Wiki, a dla tych, kt\u00f3rzy jej nie lubi\u0105, a wol\u0105 etymologi\u0119, wstawiam jedn\u0105 kr\u00f3tk\u0105 pod spodem. Prosz\u0119 si\u0119 tam szybko przenie\u015b\u0107 \ud83d\ude42<\/p>\n

Definicja 1<\/span><\/em><\/h3>\n

Niech F {\\displaystyle {\\mathfrak {F}}} <\/span>\"{\\mathfrak<\/span> b\u0119dzie zbiorem i niech \u03c2 : F \u2192 N 0 . {\\displaystyle \\varsigma \\colon {\\mathfrak {F}}\\to \\mathbb {N} _{0}.} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span><\/em><\/p>\n

Algebr\u0105 sygnatury \u03c2 {\\displaystyle \\varsigma } <\/span>\"{\\displaystyle<\/span><\/b> jest para A = \u27e8 A , J \u27e9 , {\\displaystyle {\\mathcal {A}}=\\langle A,{\\mathcal {J}}\\rangle ,} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> gdzie A {\\displaystyle A} <\/span>\"A\"<\/span> jest zbiorem (zwykle niepustym), a J {\\displaystyle {\\mathcal {J}}} <\/span>\"{\\mathcal<\/span> jest funkcj\u0105<\/a>, kt\u00f3ra elementowi f {\\displaystyle {\\mathfrak {f}}} <\/span>\"{\\mathfrak<\/span> zbioru F {\\displaystyle {\\mathfrak {F}}} <\/span>\"{\\mathfrak<\/span> przyporz\u0105dkowuje \u03c2 ( f ) {\\displaystyle \\varsigma ({\\mathfrak {f}})} <\/span>\"\\varsigma<\/span>–argumentowe<\/a> dzia\u0142anie<\/a> J ( f ) {\\displaystyle {\\mathcal {J}}({\\mathfrak {f}})} <\/span>\"{\\mathcal<\/span> w zbiorze A . {\\displaystyle A.} <\/span>\"A.\"<\/span> Zbi\u00f3r A {\\displaystyle A} <\/span>\"A\"<\/span> nazywamy uniwersum<\/b> algebry A , {\\displaystyle {\\mathcal {A}},} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> funkcj\u0119 J {\\displaystyle {\\mathcal {J}}} <\/span>\"{\\mathcal<\/span> interpretacj\u0105<\/b> zbioru F {\\displaystyle {\\mathfrak {F}}} <\/span>\"{\\mathfrak<\/span> w algebrze A . {\\displaystyle {\\mathcal {A}}.} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span><\/em><\/p>\n

Dla danej algebry A , {\\displaystyle {\\mathcal {A}},} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> jej uniwersum oznacza si\u0119 zazwyczaj jako | A | . {\\displaystyle |{\\mathcal {A}}|.} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> Tak\u017ce zamiast pisa\u0107 J ( f ) {\\displaystyle {\\mathcal {J}}({\\mathfrak {f}})} <\/span>\"{\\mathcal<\/span> pisze si\u0119 A ( f ) {\\displaystyle {\\mathcal {A}}({\\mathfrak {f}})} <\/span>\"{\\mathcal<\/span> albo f A . {\\displaystyle {\\mathfrak {f}}^{\\mathcal {A}}.} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span><\/em><\/p>\n

Definicja 2<\/span><\/em><\/h3>\n

Algebr\u0105<\/b>[1]<\/a><\/sup> nazywamy zbi\u00f3r G , {\\displaystyle {\\mathfrak {G}},} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> na kt\u00f3rym okre\u015blony jest sko\u0144czony lub niesko\u0144czony zbi\u00f3r \u03a9 {\\displaystyle \\Omega } <\/span>\"\\Omega<\/span> operacji n {\\displaystyle n} <\/span>\"n\"<\/span>-arnych<\/a>.<\/em><\/p>\n

Zbi\u00f3r symboli operacji \u03a9 , {\\displaystyle \\Omega ,} <\/span>\"\\Omega,\"<\/span> dla kt\u00f3rych wskazane s\u0105 ich arno\u015bci nazywa si\u0119 sygnatur\u0105 algebry. Je\u017celi operacja \u03c9 \u2208 \u03a9 {\\displaystyle \\omega \\in \\Omega } <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> jest n {\\displaystyle n} <\/span>\"n\"<\/span>-arna, to u\u017cywa si\u0119 zapisu \u03c9 \u2208 \u03a9 n . {\\displaystyle \\omega \\in \\Omega _{n}.} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span><\/em><\/p>\n

Powy\u017csze dwie definicje opisuj\u0105 ten sam obiekt \u2013 algebr\u0119 \u03c9 . {\\displaystyle \\omega .} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> W pierwszej definicji zbi\u00f3r F {\\displaystyle {\\mathfrak {F}}} <\/span>\"{\\mathfrak<\/span> jest zbiorem nazw (symboli) operacji algebry, J {\\displaystyle {\\mathcal {J}}} <\/span>\"{\\mathcal<\/span> jest funkcj\u0105 przypisuj\u0105c\u0105 nazwie operacj\u0119 n {\\displaystyle n} <\/span>\"n\"<\/span>-arn\u0105 algebry, a funkcja \u03c2 {\\displaystyle \\varsigma } <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> przypisuje nazwie operacji jej arno\u015b\u0107.<\/em><\/p>\n

Definicja 3<\/span><\/em><\/h3>\n

Algebr\u0105<\/b>[4]<\/a><\/sup> (lub algebr\u0105 og\u00f3ln\u0105<\/b>) nazywamy sko\u0144czony ci\u0105g<\/a> postaci:<\/em><\/p>\n

\n
A = ( A , a 1 , a 2 , \u2026 , a m , f 1 , f 2 , \u2026 , f n ) , {\\displaystyle \\mathbf {A} =(A,a_{1},a_{2},\\dots ,a_{m},f_{1},f_{2},\\dots ,f_{n}),} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span><\/em><\/dd>\n<\/dl>\n

gdzie:<\/em><\/p>\n

\n
A {\\displaystyle A} <\/span>\"A\"<\/span> jest niepustym zbiorem zwanym no\u015bnikiem<\/b> (albo uniwersum<\/b> algebry),<\/em><\/dd>\n
a 1 , a 2 , \u2026 , a m {\\displaystyle a_{1},a_{2},\\dots ,a_{m}} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> s\u0105 pewnymi elementami zbioru A {\\displaystyle A} <\/span>\"A\"<\/span> (nazywanymi elementami wyr\u00f3\u017cnionymi),<\/em><\/dd>\n
f 1 , f 2 , \u2026 , f n {\\displaystyle f_{1},f_{2},\\dots ,f_{n}} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> s\u0105 dzia\u0142aniami okre\u015blonymi w zbiorze A , {\\displaystyle A,} <\/span>\"A,\"<\/span> przy czym f i {\\displaystyle f_{i}} <\/span>\"f_{i}\"<\/span> jest dzia\u0142aniem k i {\\displaystyle k_{i}} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span>-argumentowym, tzn. f i : A k i \u2192 A {\\displaystyle f_{i}\\colon A^{k_{i}}\\to A} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> oraz k i > 0. {\\displaystyle k_{i}>0.} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span><\/em><\/dd>\n<\/dl>\n

Dwie algebry:<\/em><\/p>\n

\n
A = ( A , a 1 , a 2 , \u2026 , a m , f 1 , f 2 , \u2026 , f n ) {\\displaystyle \\mathbf {A} =(A,a_{1},a_{2},\\dots ,a_{m},f_{1},f_{2},\\dots ,f_{n})} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span><\/em><\/dd>\n<\/dl>\n

i<\/em><\/p>\n

\n
B = ( B , b 1 , b 2 , \u2026 , b r , g 1 , g 2 , \u2026 , g s ) {\\displaystyle \\mathbf {B} =(B,b_{1},b_{2},\\dots ,b_{r},g_{1},g_{2},\\dots ,g_{s})} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span><\/em><\/dd>\n<\/dl>\n

nazywamy algebrami podobnymi<\/b> (lub algebrami tego samego typu<\/b>) je\u015bli m = r {\\displaystyle m=r} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> oraz n = s , {\\displaystyle n=s,} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> oraz dla ka\u017cdego i \u2208 { 1 , 2 , \u2026 , n } {\\displaystyle i\\in \\{1,2,\\dots ,n\\}} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> dzia\u0142ania f i {\\displaystyle f_{i}} <\/span>\"f_{i}\"<\/span> oraz g i {\\displaystyle g_{i}} <\/span>\"g_{i}\"<\/span> s\u0105 dzia\u0142aniami o tej samej liczbie argument\u00f3w, tzn. f i : A k i \u2192 A {\\displaystyle f_{i}\\colon A^{k_{i}}\\to A} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span> oraz g i : B k i \u2192 B . {\\displaystyle g_{i}\\colon B^{k_{i}}\\to B.} <\/span>\"{\\displaystyle<\/span><\/em><\/p>\n

google KR\u00d3TKA DEFINICJA ALGEBRY<\/p>\n

\n
\n
\n
\n
the part of mathematics in which letters and other general symbols are used to represent numbers and quantities in formulae and equations.<\/div>\n
„courses in algebra, geometry, and Newtonian physics”<\/div>\n<\/div>\n
\n